Матеріал з Вікіпедії - вільної енциклопедії

теорема про суму кутів трикутника - класична теорема евклідової геометрії . Стверджує, що

Сума кутів трикутника на евклідової площини дорівнює 180 ° .

Нехай Δ A B C {\ displaystyle \ Delta ABC} - довільний трикутник. Проведемо через вершину B пряму, паралельну прямій AC. Відзначимо на ній точку D так, щоб точки A і D лежали по різні боки від прямої BC. Кути DBC і ACB рівні як внутрішні навхрест лежачі, утворені січною BC з паралельними прямими AC і BD. Тому сума кутів трикутника при вершинах B і С дорівнює розі ABD. Сума всіх трьох кутів трикутника дорівнює сумі кутів ABD і BAC. Так як ці кути внутрішні односторонні для паралельних AC і BD при січної AB, то їх сума дорівнює 180 °. Що й потрібно було довести.

З теореми випливає, що у будь-якого трикутника не менш двох гострих кутів. Дійсно, застосовуючи доказ від протилежного , Припустимо, що у трикутника тільки один гострий кут або взагалі немає гострих кутів. Тоді у цього трикутника є, принаймні, два кута, кожен з яких не менше 90 °. Сума цих кутів як мінімум 180 °. А це неможливо, так як сума всіх кутів трикутника дорівнює 180 °.

Існує більш складне співвідношення між двогранними кутами довільного симплекса . А саме, якщо L i j {\ displaystyle L_ {ij}} - кут між i і j гранями симплекса, то визначник Наступного матриці (що є циркулянт ) Дорівнює 0:

| 1 - cos ⁡ L 12 - cos ⁡ L 13 ... - cos ⁡ L 1 (n + 1) - cos ⁡ L 21 1 - cos ⁡ L 23 ... - cos ⁡ L 2 (n + 1) - cos ⁡ L 31 - cos ⁡ L 32 1 ... - cos ⁡ L 3 (n + 1) ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ - cos ⁡ L (n + 1) 1 - cos ⁡ L (n + 1) 2 - cos ⁡ L (n + 1) 3 ... 1 | = 0 {\ displaystyle {\ begin {vmatrix} 1 & - \ cos L_ {12} & - \ cos L_ {13} & \ dots & - \ cos L_ {1 (n + 1)} \\ - \ cos L_ { 21} & 1 & - \ cos L_ {23} & \ dots & - \ cos L_ {2 (n + 1)} \\ - \ cos L_ {31} & - \ cos L_ {32} & 1 & \ dots & - \ cos L_ {3 (n + 1)} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \\\ cos L _ {(n + 1) 1} & - \ cos L _ {(n + 1 ) 2} & - \ cos L _ {(n + 1) 3} & \ dots & 1 \\\ end {vmatrix}} = 0} .

Це випливає з того, що цей визначник є визначником Грама нормалей до граней симплекса, а визначник Грама лінійно залежних векторів дорівнює 0, і n + 1 {\ displaystyle n + 1} вектор в n {\ displaystyle n} вимірному просторі завжди лінійно залежні.

• на сфері сума кутів трикутника завжди перевищує 180 °, різниця називається сферичним надлишком і пропорційна площі трикутника. У сферичного трикутника можуть бути два або навіть три прямих або тупих кута.

Приклад. Одна вершина трикутника на сфері - північний полюс. Цей кут може мати значення до 180 °. Дві інші вершини лежать на екваторі, відповідні кути рівні 90 °.

• В геометрії Лобачевського сума кутів трикутника завжди менше 180 ° і може бути як завгодно малою. Різниця також пропорційна площі трикутника.